こんにちは、かずです。
今回は素因数分解をどうやったら早くできるようになるのかについて書いていこうと思います。
昨日のことなのですが、ふとテレビを点けると、ちょうど「さんまの東大方程式」をやっていて、その中で東大生が素因数分解の速度を対決していました。
僕も数学は得意ですし、一時期素因数分解のアプリにはまっていたこともあったので挑戦してみたら、なんと僕の方が早く解ける問題があったのです。
3876の素因数分解をせよという問題ですね。後で詳しく解説します。
そこで、僕の素因数分解の考え方や意識していることを書けば、数学の問題を解くときの助けになるかもしれないと思ったので、この記事を書くことに決めました。
数学の勉強法についてはこの下の記事で解説しています。また、この記事が好評なら因数分解のコツや方程式を解くときのコツなども書こうと思います。
前置きが長くなりましたね💦早速見ていきましょう！
素因数分解をする流れ
とにかく小さい数にしてから強引に割る！
初めに素因数分解を簡単にするための流れを説明しておきましょう。
この流れさえ分かっていれば、素因数分解に困ることはなくなるはずです。
その流れというのは、簡単にできる素因数分解でないか考えつつ、2,3,5で割れるだけ割ってみて、最後に強引に割るというものです。
簡単ですよね？それでは今回はここまでですと言いたいところですが、何が何だか分からないと思うので、順番に説明していきましょう。
簡単にできる素因数分解
冒頭で出てきた素因数分解など！
まず、簡単にできる素因数分解とはどういったものかについて説明しましょう。
冒頭で出てきた3876の例が分かりやすいので、これを使って説明します。
皆さんはこの数字を見て、何となくきれいだなとか思いませんか？
思いましたよね？そうです、76=38×2なのでこの数は38で割ることができますね！
では、2255はどうでしょうか？
これも11で割れそうだなんていうことは何となくわかったでしょうか？
22も55も11の倍数ですからね
実はこういう風に約数が分かりやすく存在している数は意外と多く、こういう数の場合はまず分かりやすい約数で割ってしまった方がいいのです。
というのも、先ほどの3876の例で言えば、先に4で割ると969、これを3で割って323となりますが、19の倍数感がなくなってますよね？
これを最初に38で割れることに気づいて割れば、残りは102となり3876=2×3×17×2×19とすぐに分かります。
2255の場合も同様に先に11で割ることによって、残り205となり2255=11×5×41とすぐに素因数分解できます。
逆に先に5で割ってしまうと残りが451となって11の倍数感が薄くなりますし、さらに5で割る時に計算ミスをしてしまう可能性まで出てきますよね。
ということで、簡単に大きい約数が見つかる場合にはまずそれで割ってみましょう。
特徴的な数
下3桁が125だったり、何かの階乗だったり！
上にような数字の他にも、簡単にできる素因数分解は存在します。
それが、何かの数字の2乗、3乗だったりだとか、下3桁が125だったりとかいった数の素因数分解です。
例えば256と言えば2の8乗ですし、729と言えば３の6乗、361と言えば19の2乗です。
また、下3桁の数字が125,375,625,875となっていれば125=5の3乗で一気に割ることができるのです。
ここに挙げたようなことに気づくのははじめのうちは難しいかもしれませんが、気づけば一瞬で終わるので、是非気を付けてみてくださいね。
2,3,5で割れないかを考える
2,3,5の倍数は分かりやすい！
長々と簡単にできる素因数分解を語りましたが、やはり簡単にできる素因数分解ではないことも多いです。
そんな時に意識するポイントは2,3,5で割れないかということです。
なぜこれらで割れないかを先に考えるのかというと、その理由はこれらの数で割れるか割れないかは一瞬で判断できるからです。
先ほども言いましたが、素因数分解をする際に重要なことはとにかく数を小さくしていくことです。
一瞬で判断できる2,3,5の数で先に割っておくことにより、少しでも考える数を小さくすることができるのです。
2,3,5で割れないかを確かめる理由は分かっていただけましたね？
では、2,3,5で割れるというのはどうやって判断すればいいのでしょうか？
倍数判定法を使おう
2の倍数は1の位が偶数、3の倍数は全ての桁の数の合計が3の倍数、5の倍数は1の位が5,0で判断できる！
倍数判定法は覚えていますよね？
冒頭にある通り、どういう数字なら2で割れる、どういう数字なら3で割れる、どういう数字なら5で割れるみたいなやつです。
ちなみに7の倍数判定法や11の倍数判定法もありますが、僕や友達は使っていません。
先ほど書いたように、2,3,5の倍数判定法は一瞬でできるので、簡単にできる素因数分解でない時にはこれらの数字で割ることを考えます。
例を出すと、7752は1の位が2なので2で割って3876、同様に2で割って1938、19の倍数なので…といった具合に行うのです。
こういう風に簡単にできる素因数分解を探しつつ、見つからなければ2,3,5で割ってみるということを繰り返せば、素因数分解をする速度は飛躍的に上昇するでしょう。
強引に探す
上の2つが無理なときには強引に探そう！
では、上の2つの方法がどちらも使えない場合にはどうすればいいのでしょうか？
そんな時には残念ながら強引に割っていくしかありません…
しかし、その割り方にもコツはあります。
まず素因数分解する数の大体の平方根を考えます。
例えば539を素因数分解したいとすれば、その平方根なので大体24くらいになりますね。
これをなぜ行うのかというと、実は平方根までの素数で割れなければその数は自動的に素数と決まるので、それ以上の数で割ってみる必要がなくなるのです。
つまり539を素因数分解できないか調べるには、7,11,13,17,19,23で割ってみるだけでいいのです。
そして候補に挙がった数の内、小さい方から順に割っていけばすぐに素因数分解ができるでしょう。
539なら7で割って77となります。後はすぐですね。
まとめ
流れを覚えておこう！
簡単にできる素因数分解を探しつつ、2,3,5で割れないか考える！
強引に割る時にもコツはある！
いかがだったでしょうか？
いろいろ書きましたが、素因数分解を早くする方法はとにかく数をこなして慣れることです。
今時は素因数分解のゲームなんかもあるので、そういったものを利用してみるのもいいでしょう。
僕は同期に薦められてやってみたのですが、なかなか面白く一時期はまっていました。
それではまた次回。
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